LA “PARADOJA DE RUSSELL”

russell1907-2Junto con Gottlob Frege, Bertrand Russel (Trellech, 18 de mayo de 1872 – Penrhyndeudraeth, 2 de febrero de 1970), es considerado como uno de los fundadores de la Filosofía analítica. Es también considerado uno de los dos lógicos más importantes del siglo XX, siendo el otro Kurt Gödel. Trabajo diversos y muy variados temas, desde los fundamentos de las matemáticas y la teoría de la relatividad al matrimonio, los derechos de las mujeres y el pacifismo, los derechos de las mujeres, la inmoralidad de las armas nucleares, y sobre las deficiencias en los argumentos y razones esgrimidos a favor de la existencia de Dios. En sus escritos hacía gala de un magnífico estilo literario plagado de ironías, sarcasmos y metáforas que le llevó a ganar el Premio Nobel de Literatura

BERTRAND RUSSELL construyó una contradicción dentro del sistema mismo de la lógica elemental, que es precisamente análoga a la contradicción primeramente desarrollada en la teoría cantoriana de las clases infinitas. La antinomia de RUSSELL puede ser enunciada del modo siguiente. Las clases parecen ser de dos tipos: las que no se contienen a sí mismas como miembros y las que sí se contienen. Una clase será llamada “normal” si, y solamente si, no se contiene a sí misma como miembro; en otro caso se la llamará “no normal”. Un ejemplo de clase normal es la clase de los matemáticos, ya que, evidentemente, la clase misma no es un matemático y, por tanto, no es un miembro de sí misma. Un ejemplo de clase no normal es la clase de todas las cosas pensables, ya que la clase de todas las cosas pensables es, a su vez, pensable y, por consiguiente, un miembro de sí misma. Sea “N”, por definición, la clase de todas las clases normales. Preguntamos si N mismo es una clase normal. Si N es normal, es un miembro de sí misma (pues, por definición, N contiene a todas las clases normales); pero, en ese caso, N es no normal, porque, por definición, una clase que se contiene a sí misma es no normal. Por otra parte, si N es no normal, es un miembro de sí misma (por la definición de no normal); pero, en ese caso, N es normal, porque, por definición, los miembros de N son las clases normales. En resumen, N es normal si, y solamente si, N es no normal. De lo que se desprende que la afirmación “N es normal” es verdadera y falsa a la vez. Esta fatal contradicción se produce como consecuencia de utilizar sin espíritu crítico una noción aparentemente diáfana de clase, Posteriormente fueron encontrándose otras paradojas, construidas todas por medio de familiares y aparentemente convincentes modos de razonamienro. Los matemáticos acabaron comprendiendo que, en la tarea de desarrollar sistemas consistentes, la familiaridad y la claridad intuitiva son soportes harto débiles en que apoyarse.”

Explicación formal lógica de a paradoja;

Llamemos M_{}^{} al “conjunto de todos los conjuntos que no se contienen a sí mismos como miembros”. Es decir

(1) M=\{x:x \notin x\}

Según la teoría de conjuntos de Cantor, la ecuación (1) se puede representar por

(2) \forall x\qquad x\in M \iff x\notin x

es decir “Cada conjunto es elemento de M si y sólo si no es elemento de sí mismo”.

Ahora, en vista de que M es un conjunto, se puede substituir x por M en la ecuación (2), de donde se obtiene

(3) M\in M \iff M\notin M

Es decir que M es un elemento de M si y sólo si M no es un elemento de M, lo cual es absurdo.

Uno de los elementos en los que la matemática busca sus fundamentos entra en crisis: la teoría de conjuntos. Russell descubre una antinomia (contradicción irresoluble) en la teoría de conjuntos. Demostrando que es absurda. La antinomia está relacionada con dos procesos intuitivos de la lógica formal:
1- Dada una propiedad existe un conjunto de entes que satisface esas propiedades
2- Existen clases de conjuntos que sus elementos a su vez son clases o conjuntos.
Supongamos que puede darse que exista un conjunto que cumple con la propiedad de no contenerse a si mismo. A ese conjunto lo llamamos k, el conjunto que contiene a todos los elementos, excepto a si mismo. Si K fuese elemento de K tendría que cumplir con la condición de no contenerse a si mismo, si K no se contiene a si mismo, tiene que pertenecer a K.
La conclusión de la antinomia de Russel es que la teoría de conjunto no sirve como base para la matemática. Una de las conclusiones es que Russell fue un fracaso porque nos descubrió que no puede haber un principio no antinómico formal para la ciencia formal, que la teoría de conjuntos no sirve como base pero hizo que la gente se pusiera a () para las paradojas.
Nos muestran los límites de la razón, hay límites formales (estamos hechos de tal manera que necesitamos un funcionamiento diferente para no tener esas limitaciones).
Ha tenido efectos “negativos”, nos ha enseñado a dudar de las evidencias matemáticas, esta especialización de la matemática ha sido muy fecunda a permitido desarrollar dos ámbitos: la topografía y el algebra abstracta.

Roger Penrose, en su libro “El camino a la realidad” resume en unas pocas líneas la “paradoja de Russell“:

“Esta paradoja procede del siguiente modo. Consideremos el conjunto R que consiste en “todos los conjuntos que no son miembros de sí mismos”. (Por el momento, no importa si uno está dispuesto a creer que un conjunto pueda ser miembro de sí mismo. Si ningún conjunto pertenece a sí mismo, entonces R es el conjunto de todos los conjuntos.) Planteamos la pregunta: ¿qué pasa con el propio R? ¿Es R un miembro de sí mismo? Supongamos que lo es. Entonces, puesto que pertenece al conjunto R de conjuntos que no son miembros de sí mismos, no pertenece a sí mismo después de todo: ¡una contradicción! La hipótesis alternativa es que no pertenece a sí mismo. Pero, entonces, debe ser un miembro de la familia de conjuntos que no son miembros de sí mismos, a saber, el conjunto R. Así pues, R pertenece a R, lo que contradice la hipótesis de que no pertenece a sí mismo. ¡Lo cual es una clara contradicción!”

REFERENCIAS:
– Bertrand Russell. (2014, 12 de enero). Wikipedia, La enciclopedia libre. Fecha de consulta: 18:04, enero 17, 2014 desde http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Bertrand_Russell&oldid=71869647.

http://angelrey.wordpress.com/tag/antinomia-de-russell/

– Antinomia. (2013, 8 de marzo). Wikipedia, La enciclopedia libre. Fecha de consulta: 18:07, enero 17, 2014 desde http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Antinomia&oldid=64516824.

– Paradoja de Russell. (2013, 25 de octubre). Wikipedia, La enciclopedia libre. Fecha de consulta: 18:30, enero 17, 2014 desde http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Paradoja_de_Russell&oldid=70410040.

– Teoría de conjuntos. (2013, 12 de diciembre). Wikipedia, La enciclopedia libre. Fecha de consulta: 18:31, enero 17, 2014 desde http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Teor%C3%ADa_de_conjuntos&oldid=71338881.

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